mg视讯平台游戏介绍AG平台游戏规则

October 07, 2021

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————点击图片进入游戏—————— 炸金花是常见的一种扑克游戏，类似于德州扑克的简化版本。
考虑最简单的2人情形，双方各下了1元的底注，假设游戏只存在1回合的博弈。我方先看牌，选择弃牌或者加注，如果我方没弃牌，对方看牌后选择弃牌或者比牌。双方应该如何选择策略来最大化自身收益呢？
虽然这种特殊情形，已经大大简化问题的复杂度了，但策略计算依然并不简单。
双方手牌的大小分别设为x和y，它们服从区间[0,1]上的均匀分布。典型策略是设置一个关键点，比如我方设定0.4为关键点，那么只要手牌小于0.4就直接弃牌，高于0.4则加注。对方则根据我方加注的额度来决定某个大小为关键点。假设我方的关键点是 $x_0$
,加注额度是手牌大小 $x$
的函数 $a(x)$
,对方的关键点是 $y(a)$
.
采用以上博弈策略，我方收益的数学期望可以用以下方式计算。涉及到2个独立均匀分布，用图示更直观一点：

平均收益的图示横轴为我方手牌大小，纵轴为对方手牌大小。直线EF代表我方关键点对应的分割直线 $x=x_0$
， $\triangle FCG$
对应的区域 $S_1$
代表我方加注 $a(x)$
,对方选择比牌，我方输了。这时我方收益为 $-a(x)$
.这里算收益的时候，默认底注是沉默成本，不计入损失。
曲边三角形 $GHC$
对应的区域 $S_2$
代表我方加注 $a(x)$
,对方选择比牌，我方赢了。这时我方收益为 $a(x)+2$

曲边四边形 $HECB$
对应的区域 $S_3$
代表我方加注 $a(x)$
,对方直接弃牌。这时我方收益为2
我方的平均收益P，就是对应区域收益关于该区域的二重积分。
$P=\iint_{S_1}(-a(x))dS+\iint_{S_2}(a(x)+2)dS+\iint_{S_3}2dS$

计算这些二重积分时，统一先对 $dy$
求积，再对 $dx$
求积，可得
$P=\int_{x_0}^{1}(\int_{x}^{1}(-a(x)dy+\int_{y(a)}^{x}(a(x)+2)dy+\int_{0}^{y(a)}2dy)dx$

对y求积分可得
$P=\int_{x_0}^{1}[a(x)(x-1)+(a(x)+2)(x-y(a))+2y(a)]dx$

整理可得
$P=\int_{x_0}^{1}[a(x)(2x-1-y(a))+2x]dx$

如果假如给定 $y(a),x_0$
,如何选择 $a(x)$
才能使得我方平均收益最大化呢？其实这是典型的变分问题，P可视为函数 $a(x)$
的变分泛函。根据欧拉-拉格朗日方程可得极值条件为
$2x-1=\frac{\partial }{\partial a}(ay(a))$

反过来，对方如何选择 $y(a)$
使得我方收益P取得极小值呢？那就把P的积分变量变换成a
利用上面的临界条件，两边求导，可得（导数是对a的求导）
$2dx=(ay(a))^{''}da$

P可以改写为
$P=\int_{x_0}^{1}[a(x)(\frac{\partial }{\partial a}(ay(a))-y(a))]dx+(1-x_0^2)$

$P=\int[a(ay^{'})](ay)^{''}\frac{da}{2}+(1-x_0^2)$

注意到
$（ay）^{''}=2y^{'}+ay^{''}=\frac{1}{a}(a^{2}y^{'})^{'}$

所以如果令 $z=a^2y^{'}$
,就转化为求泛函极值
$P=\int \frac{1}{2a}zz^{'}{da}+(1-x_0^2)$

再次使用欧拉-拉格朗日方程，可得极值条件：
$\frac{z^{'}}{2a}-(\frac{z}{2a})^{'}=0$

显然可得 $z=0$
,从而
$a^{2}y^{'}=0$

因此
$y=c$

其中c为待定常数。但此时P可写成
$P=\int_{x_0}^{1}[a(2x-1-c)+2x]dx$

也就是
$P=\int_{x_0}^{1}[2a(x-\frac{1+c}{2})+2x]dx$

当 $x<\frac{1+c}{2}$
,则选择尽量大的a
根据上面讨论，只需分析双方关键点是常数，且加注金额是常数的简单情形即可。
如果双方关键点分别是 $x_0,y_0$
,加注额度为 $a$
,分两种情形：
当 $x_0<y_0$
$S_1$
为梯形 $FCJI$
对应的收益为 $-a$
, $S_2$
为 $\triangle CHI$
对应的收益为 $a+2$
, $S_3$
为矩形 $EBHJ$
对应的收益为2
我方的平均收益就是收益的权重和，权重为对应区域的面积，所以可得：
$P=-aS_1+(a+2)S_2+2S_3$

$P=-a\frac{(1-x_0+y_0-x_0)(1-y_0)}{2}+(a+2)\frac{(1-y_0)^2}{2}+2y_0(1-x_0)$

计算可得
$P=(a-(a+2)y_0)x_0-\frac{a(1-y_0^2)}{2}+2y_0$

因此当
$x_0=\left\{ \begin{aligned} 0& \qquad y_0\geq\frac{a}{a+2}\\ y_0& \qquad y_0<\frac{a}{a+2}\\ \end{aligned} \right.$
时P是 $y_0$
的增函数，所以 $y_0$
需要尽量小；
当 $x_0=y_0$
时P也是 $y_0$
的增函数，所以 $y_0$
需要尽量小；
当 $x_0\geq y_0$
时，如下图所示：

$S_1,S_2,S_3$
对应的收益依然是 $-a,a+2,2$
,但对应的区域略有变化，面积需要重新计算：
$P=-aS_1+(a+2)S_2+2S_3$

$P=-a\frac{(1-x_0)^2}{2}+(a+2)(1-x_0)\frac{x_0-y_0+1-y_0}{2}+2y_0(1-x_0)$

最终可得：
$P=-(a+1)x_0^2+a(1+y_0)x_0+1-ay_0$

因此当
$x_0=\frac{a}{a+1}\frac{1+y_0}{2}$

我方收益最大化。
对应的对方希望我方收益最小化：
$P=\frac{a^2}{4a+4}y_0^2-\frac{a(a+2)}{2a+2}y_0+\frac{(a+2)^2}{4a+4}$

因 $y_0\leq1$
，P是减函数，所以 $y_0$
需要尽量大。根据 $x_0\geq y_0$
条件可得 $x_0=\frac{a}{a+1}\frac{1+y_0}{2}\geq y_0$
,从而 $y_0\leq \frac{a}{a+2}$
.由此可得对方最优策略为
$y_0= \frac{a}{a+2}$

双方会在 $x_0=y_0=\frac{a}{a+2}$
处形成纳什均衡。
对方 $y_0>\frac{a}{a+2}$
时，我方 $x_0=0$
,对方 $y_0=0$
，我方 $x_0=\frac{a}{2a+2}$
,对方 $y_0=x_0=\frac{a}{2a+2}$
,我方...，这个博弈循环会逐渐逼近纳什均衡点。 ————友情链接，https://www.2299yule.com,https://www.2299yule.net,https://www.3344yule.com mg 视讯平台游戏介绍,AG平台游戏规则澳门赌场,澳门赌场玩法,澳门赌场攻略

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